Кошовий народився у селищі Ківшарівка в Харківській області, втім невдовзі разом із сімєю переїхав у Алчевськ, що на Луганщині. З дитинства Євген демонструє акторські здібності: бере участь у шкільних концертах, займається музикою та танцями.
Після закінчення школи вступає в Луганський коледж культури. І вже на першому курсі юнака беруть до студентської КВН-команди “Кого покликати?”.
У 2001 році на нього чекає новий успіх. Євгена запрошують до Луганської команди “Ва-банк”. У складі колективу він бере участь у фестивалях та їздить з ними на різноманітні виступи, у тому числі і в Москву. На одному з таких заходів Кошовий знайомиться з “Кварталом-95”.
У 2003 році Володимир Зеленський створює студію, куди запрошує давнього знайомого Євгена. Нині Кошовий – відомий комік та актор. Він не лише грає на сцені, а й знімається у кіно та є членом журі гумористичних шоу.
До речі, Євген від природи має русяве волосся, а поголився свого часу для того, щоб втілити образи Олександра Розенбаума та Вітаса на сцені. Це сталося у 2001 році, і з того часу актор не змінює зачіску.
“З тих пір так і ходжу лисим. Голюся раз на три дні. Півгодини перед дзеркалом з бритвою і піною – і зачіска готова”, – зізнався Кошовий в одному із інтерв’ю.